ما هي الاعداد الاولية

ما هي الاعداد الاولية

العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية.

لأجل تحديد هل العدد أولي أم لا؟ توجد طريقة سهلة ولكنها بطيئة، تسمى القسمة المتكررة، وتتمثل في قسمة هذا العدد على الأعداد المحصورة بين 2 والجذر التربيعي للعدد المعين. توجد خوارزميات أخرى أكثر فعالية من القسمة، تستعمل في تحديد أولية الأعداد الكبيرة، وخصوصا عندما يتعلق الأمر بأعداد ذات شكل خاص كأعداد ميرسين الأولية. وفي 21 ديسمبر 2018، تألف أكبر عدد أولي تم الوصول إليه من 24,862,048 رقما.^[2]

مجموعة الأعداد الأولية مجموعة غير منتهية. وقد برهن على ذلك أقليدس في حوالي عام 300 قبل الميلاد. لا تعرف صيغة ما، جميع قيمها أعداد أولية. ولكن توزيع الأعداد الأولية يمكن أن يخضع للدرس وأن تقام حولهُ النظريات. إن أول مبرهنة تذهب في هذا الاتجاه هي مبرهنة الأعداد الأولية، والتي بُرهن عليها في نهاية القرن التاسع عشر والتي بموجبها الاحتمال أن يكون عدد طبيعي ما n، اختير بصفة عشوائية، أولياً، يتناسب عكسيا مع عدد الأرقام التي يحتوي عليها هذا العدد. وبتعبير آخر، يتناسب عكسيا مع اللوغارتم الطبيعي للعدد n.

خضعت الأعداد الأولية لبحوث عديدة، مع ذلك تظل الكثير من الأسئلة الأساسية مثل فرضية ريمان وحدسية غولدباخ التي تنص على أن أي عدد زوجي أكبر قطعاً من 2، يمكن أن يكتب على شكل مجموع عددين أوليين، وحدسية الأعداد الأولية التوأم والتي تنص على أن عدد الأزواج من الأعداد الأولية والتي يكون الفرق بينهما مساويا ل2 هو عدد غير منته، وهنالك مسائل غير محلولة حتى الآن بالرغم من مرور أكثر من قرن على طرحها. والسبب الأساسي يعود إلى عدم فهم العلماء لطريقة توزيع الأعداد الأولية، على عكس الأعداد الفردية أو الزوجية على سبيل المثال، وكانت هذه المعضلات سببا في تطورات كثيرة عرفتها نظرية الأعداد، التي اهتمت بالخصائص الجبرية والتحليلية للأعداد. وتستعمل الأعداد الأولية في عدة مجالات في تكنولوجيا المعلومات كالتشفير باستخدام المفتاح المعلن. حيث تعتمد أساسا هذهِ التقنية على خصائص معينة كصعوبة تعميل الأعداد الكبيرة إلى جداء أعداد أولية.

كيفية تحديد الاعداد الاولية

• التحليل إلى عوامل:

فمن خلال هذه العملية يمكن لعلماء الرياضيات أن يحددوا بسرعةٍ ما إذا كان هذا الرقم أوليًّا أو لا، ولاستخدام طريقة التحليل إلى عوامل يجب أن تعلم أنّ العامل هو أي رقمٍ يمكن ضربه برقمٍ آخر للحصول على نفس النتيجة، فعلى سبيل المثال إنّ العوامل الأولية للرقم 10 هي 2 و5؛ لأنّه إذاما ضُربت هذه الأعداد الصحيحة ببعضها فإنّ الناتج سيكون 10، وكذلك فإنّ الرقمين واحد و 10 يعتبران أيضًا عوامل للعدد 10 لأنّه لو ضرب أحدهما بالآخر فإنّ النتيجة ستكون 10، ولكنّ العوامل الأولية للعدد 10 هي 2 و5 فقط؛ لأنّ كلًّا من الواحد والعشرة ليسا أعدادًا أولية.

• باستخدام الآلة الحاسبة:

يمكن استخدام الآلات الحاسبة ومفهوم القسمة لتحديد ما إذا كان الرقم أوليًا أو لا، فمثلًا لمعرفة إذا كان العدد 57 أوليًا نقوم بدايةً بتقسيمه على العدد 2 فنجد أنّ الحاصل هو 27.5 والذي هو ليس بعدد صحيح، ومن ثم نقوم بتقسيم العدد 57 على 3 فيكون الحاصل 19 والذي هو عددٌ صحيحٌ، فيكون كل من 19 و3 هما عوامل للرقم 57 وبالتالي هو ليس عددًا أوليًّا.

تاريخ الاعداد الاولية

تم التعرف على الاعداد الاولية منذ العصور القديمة عندما درسها عالما الرياضيات اليونانيان إقليدس منذ (fl.c.300) قبل الميلاد، وإراتوسيتنس فترة (c.276-194) قبل الميلاد، حيث أعطى إقليدس أول دليلٍ له على وجود أعداد أولية لا حصر لها، وهناك نتيجتان شهيرتان تتعلقان بتوزيع الأعداد الأولية وتستحقان الذكر هما: نظرية الأعداد الأولية، ودالة زيتا ريمان.

 منذ أواخر القرن العشرين وبمساعدة أجهزة الكمبيوتر، تم اكتشاف أعداد أولية بملايين الأرقام، وقد كان يعتقد أنّ بحث نظرية الأرقام هذه ليس له أي تطبيقٍ ممكنٍ، حتى اكتشف الإختصاصيون كيف يمكن استخدام الأعداد الأولية لصنع شيفراتٍ غير قابلة للكسر.

التشفير والاعداد الاولية

أحد أكثر تطبيقات الاعداد الاولية استخدامًا في الحوسبة هو نظام التشفير RSA، ففي عام 1978 قام Ron Rivest وAdi Shamir وLeonard Adleman بجمع بعض الحقائق البسيطة عن الأرقام لإنشاء RSA، وهو النظام الذي طوروه للنقل الآمن للمعلومات عبر الإنترنت كما هو الحال مع أرقام بطاقات الائتمان.

إنّ المكون الأول المطلوب للخوارزمية هو رقمان أوليان كبيران حيث أنّ الأرقام الأكبر هي الأكثر أمانًا للتشفير، إذ أنّه من الواضح أنّ أرقام العدد واحد واثنان وثلاثة وغيرها والتي تسمى الأعداد الطبيعية هي مفيدةٌ للغاية ولكن الاعداد الاولية هي لبنات بناء جميع الأعداد الطبيعية وهي الأكثر أهميةً.

إنّ ضرب عددين ببعضهما حتى لو كانا كبيرين هو مهمةٌ شاقةٌ بلا شك إلّا أنّها واضحةٌ، أمّا العثور على العامل الأولي هو أمرٌ بالغُ الصعوبة وهذا بالضبط ما يستفيد منه نظام RSA، فلنفترض أنّ شخصان A وB أرادا التواصل سرًا عبر الإنترنت فإنّ ذلك يتطلب منهما استخدام نظام تشفيرٍ معينٍ، فلو التقى الطرفان شخصيًّا لأول مرة سوف يتمكنان من إيجاد طريقةٍ ما للتشفير وفكها ولكن لو كان الاتصال الأول عبر الإنترنت فيجب عندها توصيل نظام التشفير نفسه بشكلٍ علنيٍّ وهو أمرٌ محفوفٌ بالمخاطر.

ومع ذلك لو اختار A رقمان أوليان كبيران، وقام بحساب ناتجهما والإبلاغ عن ذلك بصراحةٍ، سيكون اكتشاف الاعداد الاولية الأصلية مهمةً صعبةً للغاية لأنّ A هو الوحيد الذي يعلم ما هي هذه العوامل.

ولذلك سيتمكن A من إرسال ناتجه إلى B مع الحفاظ على سرية عوامله وسيقوم B باستخدام هذا الناتج لتشفير رسالته إلى A والتي لا يمكن فك تشفيرها إلا من قبل A نفسه باستخدام العوامل التي يعرفها، وبذلك فلو حاول طرفٌ ثالثٌ C التنصت على الرسالة فإنّه لن يتمكن من فك شيفرة رسالة B إلا إن امتلك عوامل الطرف A والتي لم يتم الإبلاغ عنها مطلقًا، وحتى لو حاول الطرف C تقسيم الناتج إلى عوامله الأساسية باستخدام أسرع حاسوبٍ فإنه لا توجد خوارزميات يمكن أن تنجز ذلك.