ما هو مجموع زوايا الشكل الخماسي ؟

المحتويات

حساب مجموع زوايا الشكل الخماسي بالخطوات ؟

في الهندسة الرياضية، خُمَاسِيّ الأَضْلاَعِ أو المُخَمَّس (بالإنجليزية: Pentagon)‏ هو مضلع له خمسة أضلاع، مجموع الزوايا الداخلية لخماسي أضلاع بسيط (أي أضلاعه لا تتقاطع مع بعضها البعض) ومحدب يساوي 540 درجة.

قد يكون خماسي الأضلاع بسيطا وقد يكون ذاتي التقاطع. خماسي ذاتي التقاطع يسمى نجمة خماسية.

الخماسي المنتظم

خطوات إنشاء المخمس باستخدام الفرجار والمسطرة.

الزاوية الداخلية للخماسي تساوي 108°.

مساحة خماسي منتظم

تعطى مساحة المخمس ذو طول الضلع t بالعلاقة التالية:

A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\cdot \tan(54^{\circ })}{4}}\ \approx 1.720477401\,t^{2}.

تعطى مساحة المخمس بدلالة نصف قطر الدائرة المحاطة داخله r بالعلاقة:

$t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}\ \approx 1.17557050458R$

شعاع الدائرة المحيطة

يعطى نصف قطر الدائرة المحيطة R بالعلاقة:

$R={\frac {\sin(54^{\circ })a}{\sin(72^{\circ })}}\ \approx 0.85065a$

إنشاء خماسي منتظم

المخمس هو مضلع قابل للإنشاء باستخدام إنشاءات الفرجار والمسطرة. ويعود ذلك إلى كون 5 عددا أوليا لفيرما. هناك العديد من الطرق اللائي يمكنن من إنشاء خماسي منتظم. منهن ما يلي.

طريقة ريشموند
دوائر كارليل

البرهان على أن ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{4}}$

{\begin{aligned}0&=\cos 90^{\circ }\\&=n^{2}+2n+1\\&=\cos(72^{\circ }+18^{\circ })\\&=\cos 72^{\circ }\cos 18^{\circ }-\sin 72^{\circ }\sin 18^{\circ }\end{aligned}}

(باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

\quad =(2\cos ^{2}36^{\circ }-1){\sqrt {\tfrac {1+\cos 36^{\circ }}{2}}}-2\sin 36^{\circ }\cos 36^{\circ }{\sqrt {\tfrac {1-\cos 36^{\circ }}{2}}}

(باستخدام قائمة المطابقات المثلثية)

ليكن u = cos 36°. أولا لاحظ أن

$0 < u < 1$ (والتي ستساعدنا في التبسيط أثناء العمل). الآن،

{\begin{aligned}0&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}-2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}\\2{\sqrt {1-u^{2}}}\cdot u{\sqrt {\tfrac {1-u}{2}}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {\tfrac {1+u}{2}}}\\2{\sqrt {1+u}}{\sqrt {1-u}}\cdot u{\sqrt {1-u}}&{}=(2u^{2}-1){\sqrt {1+u}}\\2u(1-u)&{}=2u^{2}-1\\2u-2u^{2}&{}=2u^{2}-1\\0&{}=4u^{2}-2u-1\\u&{}={\frac {2+{\sqrt {(-2)^{2}-4(4)(-1)}}}{2(4)}}\\u&{}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\end{aligned}}

قد يعبر عن هذه النتيجة نثرا كما يلي :

الجيب التمام لزاوية تساوي ستة وثلاثين درجة هو نصف النسبة الذهبية.

سؤال وجواب

ما هو مجموع زوايا الشكل الخماسي ؟

حساب مجموع زوايا الشكل الخماسي بالخطوات ؟