المحتويات
تجربتي في حل أسئلة القاسم المشترك الأكبر
نرحب بكم طلاب السنة الرابعة متوسط في درس جديد نتناول شرحه في هذا المقال وهو( كيفية حساب القاسم المشترك الاكبر ) ويعرف القاسم المشترك الأكبر في الرياضيات من أمتع الدروس التي قد تمر على الطالب ، القاسم المشترك الأكبر لعددين لعددين كما يدل على ذلك اسمه هو أكبر عدد يقسم في نفس الوقت العددين معاً بدون أي باقي قسمة، فمثلاً القاسم المشترك الأكبر للعددين 48 و 60 هو 12.
في الرياضيات، القاسم المشترك الأكبر لعددين هو أكبر قاسم يوجد في مجموعتي قواسم هذين العددين، فمثلاً القاسم المشرك الأكبر للعددين 45 و 54 هو 9 لأن: {1 ، 3 ، 5 ، 9 ،15 ، 45} = D45 و { 1 ، 2 ، 3 ، 6 ، 9 ، 18 ، 27 ، 54} = D54 . في هذا الدرس نذكر بتعريف القاسم المشترك الأكبر لعددين و نتناول طرق تحديده :
طرق تحديد القاسم المشترك الأكبر لعددين :
الطريقة 1 :
استعمال التعميل إلى جداء أعداد أولية
يمكن حساب القاسم المشترك الأكبر لعددين كما في المثال التالي: نأخذ كمثال العددين 6 و3 ونبحث عن قاسمهما المشترك الأكبر.
- نكتب العددان على شكل جداء عوامل أولية.
- 3=1×3
- 6=2×3
- نختار الآن العوامل المشتركة ( لأنه قاسم سوف نختار الأعداد المشتركة ) ذات الأس الأصغر ( لأنه أكبر * قاسم مشترك أكبر ) .
- العوامل المشتركة ذات الأس الأصغر هي 3 . إذا ق.م.أ ( 6,3 ) = 3
الطريقة 2 : بواسطة التفكيك إلى جداء عوامل أولية
الطريقة 3 : خوارزمية الفروق المتوالية
المبدأ في هذه الطريقة هو أنه إذا كان d قاسما للعددين a و b فإنه أيضا قاسما لفرقهما a-b :
راجع في هذه الصفحة : خواص المضاعفات و القواسم
مثــــــال : حدد (PGCD(320 ; 240
لدينا : 80 = 240 – 320
إذن القاسم المشترك الأكبر للعددين 240 و 320 يقسم 80
نتابع حساب الفرق بين الناتج المحصل عليه و أصغر حد من حدي الفرق السابق
160 = 80 – 240
80 = 80 – 160
0 = 80 – 80
القاسم المشترك الأكبر سيكون هو ناتج عملية الفرق التي تعلو 0 ( أخر فرق غير منعدم)
إذن : 80 = (PGCD(320 ; 240
الطريقة 4 : خوارزمية إقليدس
المبدأ نفسه كما في الطريقة السابقة إلا أننا سنقوم بقسمات متوالية كما في المثال التالي :
مثــــــال : حدد (PGCD(320 ; 240
? = 240 ÷ 320 نحصــــل على : 160 + 1 . 240 = 320
نقسم أصغر العددين في القسمة السابقة على باقي القسمة
? = 240 ÷ 320 نحصــــل على : 80 + 1 × 160 = 240
? = 80 ÷ 160 نحصــــل على : 0 + 1 × 80 = 160
القاسم المشترك الأكبر سيكون هو أخر باقي غير منعدم اي 80
إذن : 80 = (PGCD(320 ; 240