المحتويات
عدد اولي اصغر من ٥٠ مكون من رقمين متماثلين
العدد الأولي والعدد الأول هو عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1، لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى واحد فقط. يُدعى كل عدد طبيعي أكبر قطعاً من 1 وغير أولي عددا مؤلفا. على سبيل المثال، 5 هو عدد أولي لأنه لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى 5، بينما 6 هو عدد مؤلف لأنه قابل للقسمة على 1، وعلى 2 وعلى 3 وعلى 6. تقيم المبرهنة الأساسية في الحسابيات الدور المركزي للأعداد الأولية في نظرية الأعداد: كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 يساوي جداء مجموعة وحيدة ما من الأعداد الأولية (بغض النظر عن ترتيب هؤلاء الأعداد داخل هذهِ المجموعة). فإن هذهِ المبرهنة تستلزم إقصاء 1 من لائحة الأعداد الأولية .
يتسائل عدد من الطلبة عن عدد اولي اصغر من ٥٠ مكون من رقمين متماثلين فما هو ، وفق ما أسلفنا الذكر في السطور السابقة ، فإن العدد الأولي هو عدد طبيعي أكبر من 1 صحيح ولا يقبل القسمة الا على نفسه وعلى واحد فقط ، فالعدد الذي نبحث عنه هو العدد 11 فهو عدد أولي لا يقبل القسمة الا على نفسه وعلى واحد صحيح فقط .
ما هو العدد الأولي المكون من رقمين متماثلين وهو اصغر من العدد 50 ؟
الإجابة :
11
خصائص الأعداد الأوليّة تتميز الأعداد الأولية بالخصائص الآتية:
- جميع الأعداد الأولية عدا (2) هي فردية.
- جميع الأعداد الصحيحة التي تزيد عن العدد (3) يمكن التعبير عنها كنتيجة لمجموع عددين أوليين.
- العددان الأوليان المتتاليان فقط هما (2،3).
- جميع الأعداد الصحيحة غير (0،1) هي إما أعداد أولية أو مركبة.
- لا يمكن لعدد ينتهي بأحد العددين (5، 0)؛ مثل 25، 30 أن يكون أولياً.
- إذا كان مجموع الأرقام المكوّنة لعدد ما من مضاعفات العدد (3) فلا يمكن لهذا العدد أن يكون أولياً.
طريقة تحديد الأعداد الأوليّة
يتميز العدد المركب بأته يجب له أن يقبل القسمة على عدد أولي يقل عن أو يساوي جذره دون باقٍ؛ فإذا كان العدد (ن) مركب، فبالتالي يجب له أن يقبل القسمة دون باقٍ على أحد الأعداد الأولية التي تقل عن أو تساوي ن√، وفي حال عدم قابليته للقسمة دون باق على جميع هذه الأعداد فهذا يعني أن العدد أولي؛ فمثلاً العدد 23 لا يمكنه القسمة على أي عدد أولي يقل عن أو يساوي 23√ دون باقٍ، وهذا يُثبت أنه أولي.
التحليل إلى العوامل؛ من خلال هذه الطريقة يمكن تحديد إن كان العدد أولياً بشكل بسيط وسريع، وتتلخّص بالبحث عن الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد المطلوب تحليله إلى عوامله بالاستعانة بالنظرية السابقة أو بالتخمين؛ فلو أخذنا العدد 15 على سبيل المثال، فإنّنا نجد أنّ 3 و5 حاصل ضربهما هو 15، وعليه يعتبر العدد 15 عدداً مركّباً وليس أولياً؛ لوجود أعداد غيره يمكن له القسمة عليها دون باقٍ، وهي: 3،5.
أمثلة حول الأعداد الأوليّة والمُركَّبة
المثال الأول: فسّر سبب أن الأعداد الآتية (29,13,7,5) هي أعداد أوليّة؟
الحل: جميع هذه الأعداد تقبل القسمة على نفسها وعلى العدد واحد فقط.
المثال الثاني: ما هي الأعداد الأوليّة الأصغر من العدد 100؟
الحلّ: الأعداد الأولية الأصغر من العدد 100، هي: (97,89,83,79,73,71,67,61,59,53,47,43,41,37,31,29,23,19,17,13,11,7,5,3,2).
المثال الثالث: هل الأعداد (73,10,8,53,19,119) أوليّة أم مُركّبة؟
الحلّ:
العدد 8 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×4 = 8، وبذلك يُستبعَد من قائمة الأعداد الأوليّة.
العدد 73 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 73.
العدد 10 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 2×5 = 10.
العدد 19 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 19.
العدد 53 عدد أوليّ؛ لأنّه لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد واحد دون باقٍ، ولا يوجد عددان حاصل ضربهما هو 53.
العدد 119 عدد غير أوليّ؛ ويُعدّ عدداً مُركَّباً؛ لأنّ 17×7 = 119.