طريقة سهلة لحساب محيط ومساحة المثلث القائم بالأمثلة ..المثلث القائم الزاوية هو مثلث توجد فيه زاوية قائمة ، بمعنى أن أبعاده 90 درجة ، والعلاقة بين الأضلاع والزوايا الأخرى للمثلث القائم الزاوية هي أساس الحساب في المثلثات. يُطلق على الضلع المقابل للزاوية القائمة الوتر ويسمى الضلعان الآخران القاعدة والارتفاع. إذا كانت أطوال الأضلاع الثلاثة للمثلث القائم الزاوية أعدادًا صحيحة ، فيُقال إن المثلث مثلث فيثاغورس وتُعرف أطوال الأضلاع مجتمعة باسم ثالوث فيثاغورس.
وإذا أردنا حساب محيط المثلث القائم ومساحته ، فعلينا أولًا معرفة أطوال أضلاع المثلث ، لأن محيط المثلث القائم يساوي مجموع أضلاعه. مساحة المثلث تساوي نصف مساحة المستطيل لأن المستطيل عبارة عن مثلثين قائم الزاوية.
المحتويات
كيف يتم حساب محيط المثلث القائم؟
هناك العديد من الصيغ والتقنيات التي يمكننا من خلالها إيجاد محيط المثلث القائم الزاوية لأن محيط المثلث القائم الزاوية هو مجموع أضلاعه. على سبيل المثال ، إذا كانت a و b و c هي أضلاع مثلث قائم الزاوية ، فإن المحيط يكون: (a + b + c). نظرًا لأنه مثلث قائم الزاوية ، فيمكن القول بأن المحيط هو مجموع أطوال ضلعي الضلعين والوتر. نظرًا لوجود عدة طرق لإيجاد محيط المثلث القائم ، سنقوم بإدراج هذه الطرق وفقًا للمعايير المحددة.
الطريقة الأولى: إعطاء كل أطوال أضلاع المثلث القائم الزاوية
هذه الطريقة بسيطة جدًا ، بمعنى أننا إذا عرفنا جميع أطوال أضلاع المثلث القائم ، فنحن بحاجة فقط إلى جمعها ، على سبيل المثال إذا كانت c و d و a هي الأضلاع المعطاة ثم المحيط = c + d + a.
الطريقة 2: عندما لا يتم إعطاء أطوال الأضلاع ، ولكن يتم رسم المثلث الأيمن بمقياس معين
في هذه الطريقة ، سنستخدم مسطرة لقياس أطوال الأضلاع ونضيف قياس كل ضلع ، لذلك فهو:
محيط المثلث القائم = مجموع أطوال الأضلاع المقاسة بالمسطرة.
الطريقة الثالثة: عند معرفة أطوال ضلعين فقط من المثلث القائم الزاوية
وفي هذه الحالة ، علينا إيجاد طول الضلع المجهول باستخدام نظرية فيثاغورس ، ثم حساب محيط المثلث القائم. تنص نظرية فيثاغورس على أن مربع طول الوتر يساوي مجموع مربعات أطوال الضلعين الموجودين ويعطى من خلال:
مربع الوتر = مربع القاعدة + مربع الارتفاع.
إذن ، إذا كان لدينا مثلث قائم الزاوية و a و d هما الضلعان اللذان يشكلان معًا زاوية 90 درجة ، و c هو الوتر. لهذا ، تتم كتابة نظرية فيثاغورس على النحو التالي: ج تربيع = ب تربيع + أ تربيع.
أمثلة لمحيط مثلث قائم الزاوية
مثال 1
أوجد محيط المثلث القائم الزاوية إذا كان طول القاعدة 4 وحدات والارتفاع 12 وحدة والوتر 20 وحدة.
الحل
معطى: القاعدة = 5 وحدات ، الارتفاع = 10 وحدات ، الوتر = 18 وحدة.
إذن محيط المثلث القائم = القاعدة + الارتفاع + الوتر = 5 + 10 + 18 = 33 وحدة.
مثال 2
أوجد محيط المثلث القائم الزاوية حيث أن الارتفاع يساوي 6 وحدات والأساس يساوي 4 وحدات.
الحل
البيانات: القاعدة = 6 وحدات ، الارتفاع = 8 وحدات.
نلاحظ أن الاتفاق غير معروف؟ إذن لحساب الوتر ، سنستخدم نظرية فيثاغورس.
مربع الوتر = مربع طول القاعدة + مربع الارتفاع.
مربع الوتر = 6 تربيع + 8 تربيع
مربع الوتر = 36 + 64
الوتر = الجذر التربيعي لـ 100 = 10 وحدات.
هذا يعني أن محيط المثلث القائم الزاوية = 8 + 6 + 10 = 24 وحدة.
مثال 3
أوجد محيط المثلث القائم الزاوية إذا كانت القاعدة 5 وحدات والوتر 13 وحدة.
الحل
المعطى: القاعدة = 5 وحدات ، وتر المثلث = 13 وحدة ، الارتفاع =؟
نحسب الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس.
مربع الوتر = مربع القاعدة + مربع الارتفاع
13 مربع = 5 متر مربع + ارتفاع مربع
يخترع:
(13) 2 – (5) 2 = مربع الارتفاع
169-25 = 144
الارتفاع = 12 وحدة
إذن ، محيط المثلث القائم الزاوية = 5 + 13 + 12 = 30 وحدة.
كيف تشتق صيغة مساحة المثلث القائم؟
إذا رسمنا مستطيلاً بطول l وعرض w ، ثم رسمنا أحد قطريه ، فسنلاحظ أن قطر المستطيل قد قسمه إلى مثلثين قائم الزاوية. كما نعلم مساحة المستطيل = الطول × العرض ، فإن مساحة المستطيل تساوي ضعف مساحة المثلث الأيمن.
إذن مساحة المثلث القائم الزاوية = 1/2 × الطول × العرض. لكن عادةً ما يطلق على العمودين اسم القاعدة والارتفاع.
أي صيغة مساحة المثلث القائم الزاوية = 1/2 x القاعدة x الارتفاع.
ولا تنسَ استخدام نظرية فيثاغورس ، التي تنص على أنه في المثلث القائم الزاوية ، يكون مربع الوتر هو مجموع مربعي الضلعين الآخرين. إذن ، مربع الوتر = مربع القاعدة + مربع الارتفاع.
على الرغم من أن مساحة المثلث القائم الزاوية لا يمكن إيجادها باستخدام الوتر فقط ، فمن الممكن إيجاد المساحة إذا كان المرء يعرف القاعدة والارتفاع باستخدام الوتر.
كيف يمكن حساب مساحة المثلث القائم؟
مساحة المثلث القائم الزاوية هي الجزء الذي يقع داخل حدود المثلث. سنقدم هنا أمثلة لمعرفة كيفية إيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية لأطوال معطاة وكيفية حساب هذه الأطوال إذا أعطيت.
المثال الأول هو عندما يتم إعطاء طول القاعدة والارتفاع
أوجد مساحة المثلث القائم الزاوية إذا كنت تعلم أن ارتفاعه 9 سم وقاعدته 10 سم.
الحل
مساحة المثلث القائم = 1/2 x القاعدة x الارتفاع.
استبدل القيم الأساسية بالارتفاع
مساحة المثلث = 1/2 × 10 × 9
إذن مساحة المثلث = 45 سنتيمترًا مربعًا.
تذكر: الإجابة النهائية يجب أن تكون بوحدات مربعة.
المثال الثاني هو عندما يكون الارتفاع غير معروف
أوجد مساحة المثلث القائم أ ب ج وطول القاعدة 5 سم والوتر 13 سم؟
الحل
أولًا ، علينا حساب الارتفاع ، لنقل d ، باستخدام نظرية فيثاغورس.
مربع الوتر = مربع القاعدة + مربع الارتفاع ، نعوض به
13 تربيع = 5 تربيع + د تربيع
169 = 25 + د مربع
د = 12 ومن ذلك نجد
مساحة المثلث القائم = 1/2 × 5 × 12 = 30 سنتيمترًا مربعًا.
مثال 3
أوجد مساحة مثلث قائم الزاوية طول قاعدته 6 أمتار والوتر 10 أمتار.
الحل
نملأ القيم الواردة في نظرية فيثاغورس ، لذلك:
مربع الوتر = مربع القاعدة + مربع الارتفاع
10 متر مربع = 6 متر مربع + ارتفاع مربع
100 = 36 + مربع الارتفاع
مربع الارتفاع = 64
الارتفاع = الجذر التربيعي (64) = 8 متر.
إذن مساحة المثلث المعطى = 1/2 x القاعدة x الارتفاع = 1/2 x 6 x 8 = 24 مترًا مربعًا.
فى النهاية
نستنتج من كل ما سبق أن:
- مساحة المثلث القائم الزاوية هي المساحة الكلية أو المساحة التي يغطيها مثلث قائم الزاوية. يتم التعبير عنها بوحدات مربعة.
- مساحة المثلث القائم هي 1/2 x القاعدة x الارتفاع والإجابة بوحدات مربعة.
- للحصول على محيط المثلث ، نجمع كل الأضلاع. إذا كان هناك ضلعان فقط ، فإننا نستخدم نظرية فيثاغورس لإيجاد الضلع الثالث.
- لإيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية بدون القاعدة؟ إذا تم إعطاء ارتفاع ووتر المثلث القائم فقط ، فيجب إيجاد القاعدة باستخدام نظرية فيثاغورس قبل إيجاد مساحة المثلث. ثم يمكننا استخدام الصيغة 1/2 x القاعدة x الارتفاع لإيجاد المساحة.
- لإيجاد مساحة مثلث قائم الزاوية بدون ارتفاع ، قبل إيجاد مساحة المثلث أولًا ، أوجد الارتفاع باستخدام نظرية فيثاغورس. ثم يمكننا استخدام الصيغة 1/2 x القاعدة x الارتفاع لإيجاد المساحة.
- لا يمكن إيجاد مساحة المثلث القائم الزاوية إذا تم إعطاء الوتر فقط. إذن ، علينا معرفة القاعدة والارتفاع على الأقل جنبًا إلى جنب مع الوتر لإيجاد المساحة.