مثلث متطابق الاضلاع

المحتويات

مثلث متطابق الاضلاع

في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول. وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.

المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.

خصائص أساسية

كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف الضلع المتعلق به.
المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع $\Leftrightarrow$ AD متوسط $\Leftrightarrow$ AD منصف للزاوية A.
P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم $\Leftrightarrow$ P نقطة وسطى $\Leftrightarrow$ P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.

طول الارتفاع

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:

$h={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

البرهان:

إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:

H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).

بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC

$a^{2}=AH^{2}+({\frac {a}{2}})^{2}$

$\Rightarrow AH^{2}={\frac {3{a}^{2}}{4}}$

$\Rightarrow AH={\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$

وهو المطلوب إثباته.

المساحة

إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:

$Area={\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

البرهان:

مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة

مساحة المثلث = ½ ${\frac {a{\sqrt {3}}}{2}}$ × $a\,$

$\Leftarrow$ مساحة المثلث المتساوي الأضلاع = ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$

وهو المطلوب إثباته.