المحتويات

متوسط الانحراف المطلق للصف الثامن

يعد الانحراف المطلق لإي عنصر ضمن مجموعة البيانات الإحصائية في علم الإحصاء ، أنه الفرق المطلق (القيمة المطلقة للفرق) بين هذا العنصر وقيمة أخرى معطاة وعادة تكون هذه القيمة المعطاة هي المتوسط الحسابي أو الوسيط لمجموعة البيانات.

قانون متوسط الانحراف المطلق هو

يحسب الانحراف المطلق بالعلاقة:

|D|=|x_{i}-m(X)|

حيث:

|D|

هو الانحراف المطلق,

x_{i}

عنصر من المجموعة

m(X)

القيمة المعطاة (مقياس النزعة المركزية) للمجموعة. عادة يمثل المتوسط الحسابي أو الوسيط.

مثال :

كيفية حساب متوسط الانحراف عن الوسط (للبيانات غير المرتبطة)

إذا كنت تتعامل مع البيانات، فيوجد العديد من الطرق المختلفة لقياس مدى تقارب قيم بياناتك. يعد الوسط الحسابي هو أكثر تلك الطرق شيوعًا. بالإضافة إلى ذلك، يتعلّم أغلب الناس مبكرًا في المدرسة حساب الوسط الحسابي عبر إيجاد ناتج جمع مجموعة من قيم البيانات ثمّ قسمة هذا المجموع على عدد القيم في المجموعة. يستخدم حساب متوسط الانحراف حول الوسط كطريقة أكثر تقدمًا لمعرفة مدى تقارب قيم بياناتك حول الوسط. تمر عملية حساب تلك القيمة عبر خطوتين أولهما حساب متوسّط مجموعة البيانات ثمّ حساب الفرق بين كل قيمة من البيانات مع ذلك الوسط، وأخيرًا حساب الوسط لتلك الفروق.

اجمع بياناتك وعدها. يعتبر الوسط هو مقياس إحصائي للقيمة المركزية. يخبرك الوسط بتلك القيمة المركزية لمجموعة من البيانات اعتمادًا على نوع تلك البيانات. لتحسب قيمة المتوسّط يجب عليك أولاً جمع بياناتك، إما من خلال تجربة من نوع ما أو باستخدام مسألة محددة فقط.^[١]
- انظر لهذا المثال، استخدم مجموعة البيانات المحددة وهم 6 و7 و10 و12 و13 و4 و8 و12. نرى أنّ هذه المجموعة صغيرة فيمكننا عدها يدويًا وحساب عدد القيم ب ثمانية أرقام في المجموعة.
- في العمل الإحصائي، يستخدم المتغير $N$ أو $n$ عادةً ليعبّر عن عدد قيم البيانات.
احسب مجموع قيم البيانات. تعد الخطوة الأولى لإيجاد المتوسط هي حساب مجموع كل قيم البيانات. تمثّل كل قيمة بالرمز $x$ في التدوين الإحصائي. يعبّر عن مجموع كل القيم بالرمز $\Sigma x$ . يشير دائمًا الرمز سيجما إلى مجموع القيم. بالنسبة للمثال السابق، سيكون حساب المجموع كالتالي:
- $\Sigma x=6+7+10+12+13+4+8+12=72$
- $\mu ={\frac {\Sigma x}{N}}={\frac {72}{8}}=9$
  
  اقسم لتحسب المتوسّط. أخيرًا اقسم المجموع على عدد القيم. يستخدم الحرف اليوناني ميو , $\mu$ ليعبّر عن المتوسّط. لذلك يكون حساب المتوسّط هو :

حساب متوسّط الانحراف

أعد جدولًا. من المفيد إعداد جدولًا من ثلاثة أعمدة لتجعل بياناتك مرتبة بشكل جيد ولتساعدك في الحسابات. سمّ العمود الأول $x$ والثاني $x-\mu$ والثالث $|x-\mu |$ . >.
- املأ العمود الأول بقيم البيانات لحساباتك.
احسب الانحراف لكل قيمة من البيانات. اتجه للعمود الثاني من الجدول الذي قمت بتسميته $x-\mu$ واحسب الانحراف أو الاختلاف بين كل قيمة من البيانات والمتوسّط لتلك المجموعة. احسب تلك القيمة ببساطة عن طريق عملية طرح المتوسّط من كل قيمة من البيانات.
- بالنسبة لمجموعة قيم البيانات في المثال السابق، ستكون قيم الانحراف هي
  - $6-9=-3$
  - $7-9=-2$
  - $10-9=1$
  - $12-9=3$
  - $13-9=4$
  - $4-9=-5$
  - $8-9=-1$
  - $12-9=3$
- لتتحقق من صحة حساباتك، يجب أن يكون يساوي مجموع القيم في عمود الانحراف ذلك 0. إذا قمت بجمعهم وكان الناتج مختلفًا عن 0، فسيعني ذلك إمّا أن متوسطك الحسابي غير صحيح أو أنّك قمت بخطأ في حسابات أحد قيم الانحراف أو أكثر. عد حينئذٍ وتحقق من عملك.
احسب القيمة المطلقة لكل انحراف. عندما تحسب انحراف كل نقطة عن المتوسّط، فما يهمّك هو مقدار الاختلاف فقط، وليس ما إذا كان الفرق موجبًا أو سالبًا. ما تحتاجه حقّا هو القيمة المطلقة للفرق. يرمز للقيمة المطلقة بعمودين رأسيين | | في المصطلحات الرياضية.
- تعرف القيمة المطلقة بأنّها أداة رياضية تستخدم لقياس المسافة أو الحجم، بغض النظر عن الاتجاه.
- لإيجاد القيمة المطلقة، تجاهل فقط الإشارة السالبة من كل رقم في العمود الثاني. بعد ذلك املأ العمود الثالث بالقيمة المطلقة كما يلي:
- $x.....(x-\mu ).....|(x-\mu )|$
- $6..........-3..........3$
- $7..........-2..........2$
- $10..........1..........1$
- $12..........3..........3$
- $13..........4..........4$
- $4..........-5..........5$
- $8..........-1..........1$
- $12..........3..........3$
احسب متوسّط القيم المطلقة للانحرافات. احسب متوسّط القيم المطلقة الموجودة في العمو الثالث من الجدول بعد إكمالك للجدول بأعمدته الثلاثة. كما قمت سابقًا لتحسب متوسّط نقط البيانات الأصلية، اجمع الانحرافات معًا واقسم مجموعهم على عدد تلك القيم.
- لنتابع في مثالنا السابق، فستكون الحسابات في المجموعة السابقة كالتالي:
  - ${\frac {3+2+1+3+4+5+1+3}{8}}={\frac {22}{8}}=2.75$
فسّر النتيجة. تقيس قيمة متوسّط الانحراف مدى قرب بياناتك من بعضها ومن المتوسّط. تُجيب الإجابة على سؤال، “إلى أي مدى تقترب قيم بياناتك من المتوسّط؟”
- على سبيل المثال، بمكننا القول مع مجموعة البيانات في المثال السابق أنّ المتوسط هو 9 ومتوسط المسافة من هذا المتوسط هو 2.75. لاحظ أنّ بعض الأرقام أقرب من 2.75 وبعضها أبعد، ولكن هذا هو متوسط المسافة.